Ejercicios de Cálculo diferencial

Trucos y consejos para estudiar cálculo diferencial

1. Comprende los conceptos básicos: Antes de avanzar en temas más complejos, asegúrate de tener una comprensión sólida de los conceptos básicos de cálculo, como la definición de límites, derivadas e integrales.
2. Practica mucho: Al igual que con cualquier otra habilidad, la práctica es esencial para mejorar en cálculo diferencial. Resuelve tantos ejercicios como sea posible, incluyendo problemas de muestra y exámenes anteriores.
3. Haz ejercicios paso a paso: En lugar de simplemente leer cómo se resuelve un problema, hazlo paso a paso. Trata de entender cada paso
4. Sé organizado: Mantén tus notas, ejercicios y apuntes organizados y en orden. Esto te ayudará a mantener una visión clara de tu progreso y te permitirá encontrar información importante de manera fácil y rápida.

Temas más importantes de Cálculo diferencial

1. Límites: Los límites son fundamentales para entender la continuidad de una función y cómo se comporta en puntos específicos.
2. Derivadas: La derivada de una función es su tasa de cambio en un punto dado. Es una herramienta importante para entender cómo cambia una función y se utiliza en una variedad de aplicaciones, incluyendo la optimización y la modelización.
3. Reglas de derivación: Las reglas de derivación incluyen reglas para derivar funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Son importantes para simplificar la derivación de funciones más complejas.
4. Aplicaciones de la derivada: Las aplicaciones de la derivada incluyen la optimización de funciones, la localización de puntos críticos y la determinación de la concavidad de una función.
5. Integrales: La integral de una función es su área bajo la curva. Las integrales se utilizan en una variedad de aplicaciones, incluyendo el cálculo de áreas y volúmenes, la modelización y la resolución de problemas de movimiento.
6. Reglas de integración: Las reglas de integración incluyen reglas para integrar funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Son importantes para simplificar la integración de funciones más complejas.
7. Técnicas de integración: Las técnicas de integración incluyen integración por partes, sustitución trigonométrica, sustitución algebraica y fraccionamiento parcial. Son importantes para integrar funciones más complejas que no se pueden resolver con las reglas básicas de integración.

Ejercicio explicado paso a paso

Calcular la derivada de la función f(x) = 3x^2 – 5x + 2

• Para resolver este problema, utilizaremos la definición de la derivada: f'(x) = lim h->0 [f(x+h) – f(x)] / h
• Sustituyendo f(x) por la función dada: f'(x) = lim h->0 [(3(x+h)^2 – 5(x+h) + 2) – (3x^2 – 5x + 2)] / h
• Simplificando y expandiendo: f'(x) = lim h->0 [3x^2 + 6xh + 3h^2 – 5x – 5h + 2 – 3x^2 + 5x – 2] / h
• Cancelando términos y factorizando: f'(x) = lim h->0 [6xh + 3h^2 – 5h] / h

f'(x) = lim h->0 [h(6x + 3h – 5)] / h

f'(x) = lim h->0 (6x + 3h – 5)

• Al tomar el límite cuando h se acerca a cero, se obtiene la derivada de f(x):

f'(x) = 6x – 5

Por lo tanto, la derivada de la función f(x) = 3x^2 – 5x + 2 es f'(x) = 6x – 5

Preguntas Test de Cálculo Diferencial

1. ¿Cuál es la derivada de la función f(x) = 3x^2 – 2x + 1?

a) f'(x) = 6x – 2

b) f'(x) = 6x + 2

c) f'(x) = 3x^3 – x^2 + x

d) f'(x) = 3x^2 – 2x

2. ¿Cuál es la derivada de la función f(x) = sin(x) + 2cos(x)?

a) f'(x) = cos(x) – 2sin(x)

b) f'(x) = -sin(x) – 2cos(x)

c) f'(x) = cos(x) + 2sin(x)

d) f'(x) = sin(x) – 2cos(x)

3. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la curva y = x^2 + 3x en el punto (-2, 2)?

a) y = 2x + 6

b) y = -2x + 2

c) y = -2x – 2

d) y = 2x – 6

4. ¿Cuál es la integral indefinida de la función f(x) = 2x^3 + 5x^2 – 3x + 1?

a) 1/2x^4 + 5/3x^3 – 3/2x^2 + x + C

b) 2/3x^4 + 5/4x^3 – 3/2x^2 + x + C

c) 1/2x^4 + 5/4x^3 – 3/2x^2 + x + C

d) 2/3x^4 + 5/3x^3 – 3/2x^2 + x + C

5. ¿Cuál es el límite de la función f(x) = (x^2 – 3x + 2)/(x – 2) cuando x se acerca a 2?

a) 1

b) 0

c) 2

d) no existe

6. ¿Cuál es el valor de la derivada de la función f(x) = ln(x^2 + 1) en el punto x = 1?

a) f'(1) = 0

b) f'(1) = 1

c) f'(1) = 2

d) f'(1) = -1

7. ¿Cuál es la derivada de la función f(x) = e^x cos(x)?

a) f'(x) = e^x sin(x)

b) f'(x) = e^x cos(x)

c) f'(x) = e^x (sin(x) + cos(x))

d) f'(x) = e^x (cos(x) – sin(x))

8. ¿Cuál es la derivada de la función f(x) = x^3 ln(x)?

a) f'(x) = x^2 ln(x) + 3x^2

b) f'(x) = x^2 ln(x) + 3x^2 ln(x)

c) f'(x) = 3x^2 ln(x) + x^2

d) f'(x) = 3

9. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la curva y = e^x + ln(x) en el punto (1, e+ln(1))?

a) y = x + 1

b) y = 2x

c) y = e + ln(1) + x

d) y = e + ln(1) + x – 1

10. ¿Cuál es el valor de la integral definida de la función f(x) = 3x^2 – 2x + 1 entre los límites de integración de 0 y 2?

a) 4

b) 6

c) 8

d) 10

Respuestas correctas:

1. d) f'(x) = 3x^2 – 2x
2. a) f'(x) = cos(x) – 2sin(x)
3. c) y = -2x – 2
4. a) 1/2x^4 + 5/3x^3 – 3/2x^2 + x + C
5. a) 1
6. b) f'(1) = 2/2 = 1
7. d) f'(x) = e^x (cos(x) – sin(x))
8. b) f'(x) = x^2 ln(x) + 3x^2 ln(x)
9. d) y = e + x
10. c) 8